Ǿ ĬİȦȡȓĮ ȅȝȑįȧȟ țįț Ș ĬİȦȡȓĮ ǹȟįʌįȡįıijȑıiȧȟ ıijșȟ ȀȡȣıIJĮȜȜȠȖȡĮijȓĮ īǽȍȇīǿȅȋ Ȇ ȃǿȃǿ ǼʌȚȕȜȑʌȦȞ

Transcript

1 - 2011

2

3

4 All rights reserved

5 .

6

7 Πίνακας Περιεχομένων 1 Εισαγωγή Σκοπός της Διπλωματικής Εργασίας Η Συμμετρία στον κόσμο μας Κρύσταλλοι και Κρυσταλλικά Στερεά Θεωρία Ομάδων και Θεωρία Αναπαραστάσεων στις Φυσικές Επιστήμες Δομή Διπλωματικής Εργασίας Μαθηματικό Υπόβαθρο Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Στοιχεία Συμμετρίας Εσωτερική συμμετρία κρυστάλλου Εξωτερική συμμετρία κρυστάλλου Επίπεδο συμμετρίας Κέντρο συμμετρίας Άξονας συμμετρίας Στοιχεία Θεωρίας Ομάδων Βασικές Έννοιες Σύμπλοκα και το Θεώρημα Lagrange Κλάσεις Ισοδυναμίας και Διαμερίσεις Συνόλων Θεωρήματα Ομομορφισμών Στοιχεία Θεωρίας Πινάκων Στοιχεία Κυρτής Ανάλυσης Ευθέα Ημιευθέα Γινόμενα Στοιχεία Γραμμικών Ισομετριών Στοιχεία Κρυσταλλογραφίας Ο Κρυσταλλογραφικός Περιορισμός Συμμετρία σημείου και Κρυσταλλικές τάξεις Κρυσταλλικά συστήματα και Κρυσταλλογραφικοί άξονες Πλέγματα και Πλέγματα Bravais Θεμελιώδη διανύσματα μεταφοράς Μοναδιαία κυψελίδα i

8 3.4.3 Κέντρωση επίπεδου πλέγματος Κέντρωση χωροπλέγματος Επίπεδα πλέγματα Bravais Χωροπλέγματα Bravais Κρύσταλλοι στο Επίπεδο Εισαγωγή Η μαθηματική μοντελοποίηση Κατηγοριοποίηση των ομάδων επιπέδου Κρύσταλλοι στον χώρο Εισαγωγή Διεργασίες Συμμετρίας στον χώρο Περιστροφή και άξονες περιστροφής Ανάκλαση και επίπεδα συμμετρίας Περιστροφική ανάκλαση και άξονες περιστροφικής ανάκλασης Κέντρο Συμμετρίας Σύνοψη Σύνθεση διεργασιών συμμετρίας Σύνθεση Αντιμεταθετικότητα Αντίστροφη διεργασία Συσχέτιση Στοιχείων Συμμετρίας Συσχέτιση Αξόνων Συμμετρίας Συσχέτιση Αξόνων και Επιπέδων Συμμετρίας Ισοδύναμα Στοιχεία Συμμετρίας και Άτομα Συζυγείς Διεργασίες Συμμετρίας Κλάσεις Κανόνες για τον καθορισμό των Κλάσεων Ομάδες Σημείου στον χώρο Οι ομάδες στροφής Cn Οι ομάδες στροφοκατοπτρισμού S2n Οι ομάδες Cnh Οι ομάδες Cnv Οι διεδρικές ομάδες Dn ii

9 5.8.6 Οι ομάδες Dnh Οι ομάδες Dnd Οι κυβικές ομάδες (Τ, Τd, Τh, Ο, Oh) Κρυσταλλογραφικές Ομάδες Σημείων Κανόνες για τον προσδιορισμό συμμετρίας κρυστάλλων Στοιχεία Θεωρίας Αναπαραστάσεων Αναπαραστάσεις Διεργασιών H ταυτοτική διεργασία Η ανάκλαση σε επίπεδο Η αναστροφή ως προς κέντρο συμμετρίας Η περιστροφή γύρω από άξονα συμμετρίας Η περιστροφική ανάκλαση γύρω από άξονα Αναπαραστάσεις Ομάδων Σημείου Ανάγωγες και Αναγωγίσιμες Αναπαραστάσεις Το «Μεγάλο Θεώρημα Ορθογωνιότητας» Βιβλιογραφία iii

10 iv

11 1 Εισαγωγή 1.1 Σκοπός της Διπλωματικής Εργασίας Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη των κρυσταλλικών ομάδων σημείου στο επίπεδο και στον χώρο, καθώς και αναπαραστάσεις αυτών. Για τους δισδιάστατους κρυστάλλους αποδεικνύεται λεπτομερώς, μέσω της θεωρίας ομάδων η ύπαρξη των ομάδων σημείου επιπέδου, που πληρούν τις προϋποθέσεις για να είναι ένα επίπεδο μοτίβο κρύσταλλος. Γίνεται επίσης αναλυτική περιγραφή των ομάδων σημείου στον χώρο καθώς και όλοι οι δυνατοί τρόποι με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν τα άτομα ή τα ιόντα σε ένα πλέγμα. Τέλος, αναφέρονται οι τρόποι αναπαράστασης των παραπάνω ομάδων σε κατάλληλες ομάδες πινάκων μέσω των ανάγωγων αναπαραστάσεών τους και αναφέρεται ο «Μεγάλο Θεώρημα Ορθογωνιότητας», η χρησιμότητα του οποίου σε εφαρμογές είναι θεμελιώδης. 1.2 Η Συμμετρία στον κόσμο μας Η συμμετρία είναι μία έννοια που υπάρχει διάχυτη στον κόσμο μας. Η ίδια η λέξη (προέρχεται από το συν + μέτρον και ετυμολογικά σημαίνει: «αρμονία που πηγάζει από κανονικές αναλογίες») [1,σελ 1097], υποδηλώνει ότι δύο ή περισσότερα μέλη ενός αντικειμένου είναι κατά κάποιον τρόπο ίδια. Συμμετρία υπάρχει στην εξωτερική μορφή των περισσοτέρων πραγμάτων ή και όντων. Ο ίδιος ο άνθρωπος, φαίνεται από πρώτη ματιά να αποτελείται από δύο ίσα μέλη τα οποία, λειτουργικά και οπτικά είναι σχεδόν πανομοιότυπα. Παρόμοια εναντιόμορφη συμμετρία παρατηρείται και στα περισσότερα σπονδυλωτά αλλά και σε φυτά. Η αναγνώριση των στοιχείων συμμετρίας είναι χρήσιμη στη φυσική, στη χημεία, αλλά και στην ζωολογία, αφού η συμμετρία προσδιορίζει με αποφασιστικό τρόπο την συμπεριφορά του εκάστοτε συστήματος. Η συμμετρία παίζει βασικό ρόλο στην περιγραφή διαφόρων ενώσεων και στις ιδιότητες τους, διότι απλουστεύεται σημαντικά η μαθηματική περιγραφή. Επίσης, είναι και βασικό στοιχείο του μικρόκοσμου. Η γεωμετρική διάταξη των ατόμων ενός 2

12 μορίου στο χώρο, επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό τον τρόπο που συμπεριφέρεται το μόριο στις αλληλεπιδράσεις του με άλλα μόρια. Η συμμετρία είναι χαρακτηριστική τόσο στην τέχνη, όσο και στην αρχιτεκτονική και κυριαρχεί στην πλειοψηφία των ανθρώπινων κατασκευασμάτων από τα αρχαιότερα χρόνια [2]. 1.3 Κρύσταλλοι και Κρυσταλλικά Στερεά Ένας κρύσταλλος ή, ακριβέστερα, ένας μονοκρύσταλλος μπορεί να οριστεί μακροσκοπικά ως ένα στερεό αντικείμενο με ομοιόμορφη χημική σύσταση που, όπως απαντάται στη φύση ή σχηματίζεται στο εργαστήριο, διαμορφώνεται από επίπεδες έδρες, οι σχέσεις των οποίων δείχνουν μία τυπική συμμετρία, δηλαδή σχηματίζουν μεταξύ τους επακριβώς προσδιορισμένες γωνίες. Ο κρύσταλλος μιας χημικής ουσίας είναι το κανονικό πολυεδρικό σώμα που προκύπτει με τη μετάβασή της, υπό κατάλληλες συνθήκες, από την υγρή ή την αέρια κατάσταση στη στερεά. Κρυσταλλικά σώματα είναι ο πάγος, ο ασβεστίτης, το αλάτι και τα περισσότερα ορυκτά. Τα πραγματικά μη κρυσταλλικά ή άμορφα στερεά είναι πολύ λίγα. Πολλά στερεά σώματα όμως, όπως π.χ. τα μέταλλα και τα κράματα είναι συναθροίσεις μικροσκοπικών μονοκρυστάλλων, που συσσωρεύονται με λίγο πολύ τυχαίο τρόπο [3,κεφ 2 ο ]. Τα στερεά μπορούν να ταξινομηθούν λαμβάνοντας υπόψη την κανονικότητα με την οποία τα άτομα ή τα ιόντα διευθετούνται μεταξύ τους. Ένα στερεό θεωρείται κρυσταλλικό όταν τα άτομά του βρίσκονται σε μία επαναλαμβανόμενη περιοδική διάταξη για μεγάλες ατομικές αποστάσεις, δηλαδή έχουμε την ύπαρξη τάξης, μακράς εμβέλειας, ώστε κατά την στερεοποίηση τα άτομα να τοποθετούνται σε μία επαναλαμβανόμενη τρισδιάστατη διάταξη, όπου κάθε άτομο είναι δεσμευμένο με τα κοντινότερα γειτονικά του άτομα. Όλα τα μέταλλα, πολλά κεραμικά υλικά και ορισμένα πολυμερή, σχηματίζουν κρυσταλλικές δομές κάτω από κανονικές συνθήκες στερεοποίησης. Μερικές από τις ιδιότητες των κρυσταλλικών στερεών εξαρτώνται από την κρυσταλλική δομή του υλικού, δηλαδή από τον τρόπο με τον οποίο τα άτομα, τα ιόντα ή τα μόρια είναι διευθετημένα στον χώρο. Υπάρχει ένας εξαιρετικά μεγάλος αριθμός διαφορετικών κρυσταλλικών δομών στον χώρο όλες με μακράς εμβέλειας τάξη. Αυτές ποικίλουν από σχετικά απλές δομές για μέταλλα μέχρι πολύπλοκες, όπως αυτές που εμφανίζουν ορισμένα κεραμικά και πολυμερή υλικά. Κατά την περιγραφή των κρυσταλλικών δομών, τα άτομα ή τα ιόντα θεωρούνται ως στερεές σφαίρες με καλά καθορισμένες ακτίνες. Αυτό το μοντέλο ονομάζεται 3

13 μοντέλο των ατομικών σκληρών σφαιρών, σύμφωνα με το οποίο οι σφαίρες που αντιπροσωπεύουν γειτονικά άτομα, βρίσκονται σε επαφή. Πολλές φορές για την περιγραφή της κρυσταλλικής δομής χρησιμοποιούμε τον όρο πλέγμα, δηλαδή μία τρισδιάστατη διευθέτηση σημείων που ταυτίζονται με τις θέσεις των κέντρων των ατόμων [4,κεφ 3 ο ]. 1.4 Θεωρία Ομάδων και Θεωρία Αναπαραστάσεων στις Φυσικές Επιστήμες Ο μαθηματικός τρόπος μελέτης της συμμετρίας είναι η Θεωρία Ομάδων, που αποτελεί πλέον βασικό εργαλείο της σύγχρονης Χημείας και Φυσικής [5]. Η Θεωρία Ομάδων μελετά τις αλγεβρικές δομές, γνωστές και ως, ομάδες. Οι ομάδες έχουν γίνει κεντρικό αντικείμενο στη μελέτη της αφηρημένης άλγεβρας, και αποτελούν βασικά συστατικά πιο περίπλοκων αλγεβρικών δομών όπως οι δακτύλιοι, τα πεδία ή οι ι, και συναντώνται συχνά παντού στα μαθηματικά. Η θεωρία ομάδων έχει πολλές εφαρμογές στη Φυσική και τη Χημεία, και μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε κατάσταση που χαρακτηρίζεται από συμμετρία [6,κεφ 1 ο ] και συγκεκριμένα στην γεωμετρική συμμετρία των ατόμων, των μορίων και των κρυστάλλων καθώς και στην συμμετρία των εξισώσεων που περιγράφουν τις ιδιότητες και την συμπεριφορά των υπό μελέτη συστημάτων. Η θεωρία ομάδων, μαζί με την θεωρία των αναπαραστάσεων (αναπαράσταση ομάδων μέσω πινάκων) δεν βοηθά μόνο στις κβαντομηχανικές μεθόδους για την εξερεύνηση της ηλεκτρονικής δομής ενός υλικού, αλλά και στην ανάλυση αποτελεσμάτων προερχόμενα από μεθόδους φασματοσκοπίας στην οργανική και ανόργανη Χημεία. 1.5 Δομή Διπλωματικής Εργασίας Στις εισαγωγικές παραγράφους του κεφαλαίου 1, εισάγονται οι έννοιες της συμμετρίας, των κρυστάλλων και των κρυσταλλικών στερεών, η κατανόηση των οποίων είναι απαραίτητη για την συνέχεια. Στο κεφάλαιο 2, παρουσιάζεται αναλυτικά όλο το μαθηματικό υπόβαθρο προκειμένου να γίνει κατανοητή η απόδειξη της ύπαρξης ομάδων σημείου στο επίπεδο (βλ. κεφ4). Αν ο αναγνώστης έχει καλή γνώση θεωρίας ομάδων, μπορεί να παρακάμψει τις βασικές έννοιες. Στο κεφάλαιο 3, αναφέρονται οι τρόποι με τους οποίους μπορούν να τοποθετηθούν άτομα ή ιόντα σε ένα πλέγμα, καθώς και η περιορισμοί που υπάρχουν στην διαδικασία αυτή. Το 4

14 κεφάλαιο 4 πραγματεύεται την απόδειξη όλων των δυνατών κρυσταλλικών ομάδων επιπέδου. Στο κεφάλαιο 5, μέχρι και την παράγραφο 5.7, παρουσιάζονται όλες οι δυνατές ισομετρίες στον χώρο, καθώς και οι διεργασίες αυτών. Στις τελευταίες παραγράφους ( ) γίνεται εκτενής αναφορά στις κρυσταλλογραφικές ομάδες σημείου στον χώρο. Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάζονται οι τρόποι με τους οποίους μπορούν να αναπαρασταθούν οι κρυσταλλογραφικές ομάδες, μέσω κατάλληλων ορθογώνιων πινάκων και αναφέρεται το «Μεγάλο Θεώρημα της Ορθογωνιότητας» και μερικά σημαντικά πορίσματά του. 5

15 2 Μαθηματικό Υπόβαθρο Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες, η κατανόηση των οποίων κρίθηκε απαραίτητη για τη μελέτη των κεφαλαίων που ακολουθούν. Αναλύονται βασικές έννοιες συναρτησιακής και κυρτής ανάλυσης, συμμετρίας, ανάλυσης πινάκων και γίνεται εκτενής αναφορά σε θέματα θεωρίας ομάδων καθώς και μία εισαγωγή στις γραμμικές ισομετρίες και τα επίπεδα και χωρικά πλέγματα. 6

16 2.1 Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Η Συναρτησιακή Ανάλυση αποτελεί σημείο συνάντησης δύο θεμελιωδών κλάδων των Μαθηματικών, της Άλγεβρας και της Ανάλυσης. Ένας από τους βασικούς στόχους της είναι η μελέτη των διανυσματικών χώρων με νόρμα και περαιτέρω η μελέτη των γραμμικών συνεχών απεικονίσεων που ορίζονται σε αυτούς. Και στις δύο περιπτώσεις το χαρακτηριστικό γνώρισμα είναι η συνύπαρξη και η συνλειτουργία αλγεβρικών και αναλυτικών δομών (γραμμικοί χώροι, γραμμικοί τελεστές, πληρότητα, συνέχεια, και άλλα). Πρότυπα των δομών που μελετώνται αποτελούν οι πραγματικοί αριθμοί, ή πιο γενικά ο R n με την ευκλείδεια νόρμα. Εν τούτοις τα πρότυπα που αναφέραμε δεν αποτελούν τα αντιπροσωπευτικά παραδείγματα, δεδομένου ότι στην περίπτωση διανυσματικών χώρων πεπερασμένης διάστασης εμφανίζονται φαινόμενα αυτόματης πληρότητας και συνέχειας. Τα αντιπροσωπευτικά παραδείγματα αφορούν χώρους άπειρης διάστασης, οι οποίοι δεν αποτελούν αντικείμενο της παρούσας παραγράφου [7],[8]. Ορισμός (μετρικός χώρος): Μετρικός χώρος είναι ένα ζεύγος (Χ, ρ), όπου Χ είναι ένα μη κενό σύνολο και ρ: Χ Χ R μία απεικόνιση που ικανοποιεί τις ιδιότητες: (i) ρ(x, y) 0 για κάθε x, y Χ και ρ(x, y) = 0 αν και μόνο αν x = y (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) για κάθε x, y Χ (συμμετρική ιδιότητα) (iii) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(y, z) για κάθε x, y, z Χ (τριγωνική ιδιότητα) Η απεικόνιση ρ ονομάζεται μετρική, τα στοιχεία του συνόλου Χ ονομάζονται σημεία και ο πραγματικός αριθμός ρ(x, y) ονομάζεται απόσταση του x από το y. Παραδείγματα μετρικών χώρων 1. Θεωρούμε το μη κενό σύνολο R των πραγματικών αριθμών. Η συνήθης μετρική στο R ορίζεται ως εξής: ρ(x, y) = x y για δύο στοιχεία x, y R. 2. Θεωρούμε το μη κενό σύνολο R n. Η ευκλείδεια μετρική στον R n ορίζεται ως εξής: 7

17 n ρ 2 (x, y ) = (x i y i ) 2 για δύο στοιχεία x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) R n. i=1 1 2 Ορισμός (πραγματικός διανυσματικός χώρος): Πραγματικός διανυσματικός χώρος (ή γραμμικός χώρος) ονομάζεται μία τριάδα (V, +, ), όπου V είναι ένα σύνολο, + V V V μία εσωτερική πράξη (πρόσθεση) και R V V μία εξωτερική πράξη (βαθμωτό γινόμενο) που ικανοποιούν τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) (x + y) + z = x + (y + z) για κάθε x, y, z V. (ii) x + y = y + x για κάθε x, y V. (iii) Υπάρχει ένα στοιχείο 0 V (μηδενικό στοιχείο), ώστε x + 0 = 0 + x = 0 για κάθε x V. (iv) Για κάθε x V, υπάρχει x V, ώστε x + ( x) = ( x) + x = 0 (v) λ(x + y) = λx + λy, για κάθε x, y V και για κάθε λ R. (vi) (λ + μ)x = λx + μx, για κάθε x V και για κάθε λ, μ R. (vii) λ(μx) = (λμ)x, για κάθε x V και για κάθε λ, μ R. (viii) 1(x) = x, για κάθε x V. Τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου ονομάζονται διανύσματα. Παραδείγματα πραγματικών διανυσματικών χώρων 1. Ο διανυσματικός χώρος R n εφοδιασμένος με πρόσθεση και βαθμωτό γινόμενο οριζόμενο από τις σχέσεις: (x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) λ(x 1, x 2,, x n ) = (λx 1, λx 2,, λx n ) αποτελεί πραγματικό διανυσματικό χώρο. 2. Ο χώρος C[a, b] των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [a, b]. Σημειώνουμε ότι άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, καθώς και το πραγματικό πολλαπλάσιο μιας συνεχούς συνάρτησης είναι συνεχής συνάρτηση. Ορισμός (νόρμα): Έστω (V, +, ) πραγματικός διανυσματικός χώρος. Μία απεικόνιση : V R ονομάζεται νόρμα αν ικανοποιεί τις ιδιότητες: 8

18 (i) x 0, x V και x = 0 x = 0 (ii) λx = λ x, x V και λ R. (iii) x + y x + y, x, y V (τριγωνική ιδιότητα) Το ζεύγος (V, ) ονομάζεται χώρος με νόρμα. Πρόταση 2.1.4: Έστω (V, ) χώρος με νόρμα. Τότε η απεικόνιση: ρ = ρ V V R με ρ(x, y) = x y είναι μετρική στον V. Απόδειξη: Πράγματι είναι: (a) ρ(x, y) = x y 0, x, y V και ρ(x, y) = 0, δηλαδή x y = 0, αν και μόνο αν x y = 0 δηλαδή αν, και μόνο αν x = y. (b) ρ(x, y) = x y = ( 1)(y x) = 1 y x = ρ(y, x), x, y V. (c) ρ(x, y) = x y = (x z) + (z y) x z + z y = ρ(x, z) + ρ(y, z), x, y, z V. Ορισμός (εσωτερικό γινόμενο): Έστω V πραγματικός διανυσματικός χώρος. Εσωτερικό γινόμενο στον V είναι μία συνάρτηση : V V R με τις ιδιότητες: (i) x x 0, για κάθε x V και αν x x = 0 τότε x = 0 (ii) x y = y x, για κάθε x, y V (iii) λx + μy z = λ x z + μ y z, για κάθε x, y, z V, για κάθε λ, μ R. Παραδείγματα χώρων με εσωτερικό γινόμενο 1. Ο ευκλείδειος χώρος R n εφοδιασμένος με το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n, όπου x = (x 1, x 2,, x n ) και y = (y 1, y 2,, y n ). 2. Ο διανυσματικός χώρος Μ(n, m) που αποτελείται από n m πίνακες με πραγματικά στοιχεία, εφοδιασμένος με το εσωτερικό γινόμενο ίχνος ως εξής: Για δύο πίνακες Α, Β Μ(n, m) ορίζουμε: Α Β = tr(ab T ). 9

19 Πρόταση (Ανισότητα Cauchy-Schwartz): Έστω V πραγματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Τότε για κάθε x, y V έχουμε: x y 2 x x y y Απόδειξη: Αν y = 0 τότε η ανισότητα ισχύει αφού και τα δύο μέλη της είναι μηδέν. Έστω y 0 και έστω ένα αυθαίρετο x V. Τότε για κάθε λ R λαμβάνουμε: x λy x λy 0 y y λ 2 2 x y λ + x x 0 Αφού y y > 0 και η ανισότητα ισχύει για κάθε λ R, θα πρέπει: Δ = 4 x y 2 4 x x y y 0 ή x y 2 x x y y. Πρόταση 2.1.7: Ένα εσωτερικό γινόμενο σε έναν χώρο V ορίζει μία νόρμα στον V από τη σχέση: x = x x 1/2, x V Απόδειξη: Λαμβάνουμε: (a) x = x x 1/2 0, x V. Eπίσης x = x x 1/2 = 0 x x = 0 x = 0 (b) λx = λx λx 1 2 = λ 1 2 x λx 1 2 = λ 1 2λ 1 2 x x 1 2 = λ x x V, λ R. (c) Έστω x, y V. Είναι x + y 2 = x + y x + y = = x x + x y + y x + y y = x x y + y 2 = x x y + y 2 =( x + y ) 2. Από όπου έπεται: x + y x + y. Ορισμός (γραμμικός τελεστής): Έστω Χ, Υ διανυσματικοί χώροι. Μία απεικόνιση τ Χ Υ λέγεται γραμμικός τελεστής αν διατηρεί τις πράξεις. Δηλαδή αν: (i) τ(x 1 + x 2 ) = τ(x 1 ) + τ(x 2 ) για κάθε x 1, x 2 Χ. (ii) τ(λx) = λτ(x) για κάθε x Χ, για κάθε λ R. Ορισμός (ισομετρικοί τελεστές): Έστω (Χ, Χ ), (Υ, Υ ) χώροι με νόρμα. Οι Χ, Υ λέγονται ισομετρικοί αν υπάρχει τ: Χ Υ γραμμικός 1-1 και επί γραμμικός τελεστής, τέτοιος ώστε τ(x) Υ = x X για κάθε x Χ. 10

20 Στην περίπτωση αυτή ο τελεστής τ λέγεται γραμμική ισομετρία ή ισομετρία. Λήμμα : Έστω τ (R n, ) (R n, ) μία ισομετρία στον R n με μετρική ρ(x, y) = x y, x, y R n. Τότε η ισομετρία τ διατηρεί την απόσταση: ρ τ(x), τ(y) = ρ(x, y), x, y R n. Απόδειξη: Καταρχήν ο διανυσματικός χώρος R n εφοδιάζεται με την μετρική ρ(x, y) = x y για τα x, y R n, εφόσον και (x y) R n. Από τον ορισμό της ισομετρίας τ θα είναι: τ(x y) = x y τ(x) τ(y) = x y (λόγω γραμμικότητας του τελεστή) ρ τ(x), τ(y) = ρ(x, y), x, y R n. Λήμμα : Έστω τ (R n, ) (R n, ) μία ισομετρία στον R n με x = x x 1/2, x R n. Τότε η ισομετρία τ διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο: τ(x) τ(y) = x y, x, y R n. Απόδειξη: x, y R n ισχύει: x y 2 = x y x y = x x x y y x + y y = = x 2 2 x y + y 2 ή ισοδύναμα x y = 1 2 ( x 2 + y 2 x y 2 ). Λαμβάνουμε: τ(x) τ(y) = 1 2 ( τ(x) 2 + τ(y) 2 τ(x) τ(y) 2 ) = x y. Η τελευταία ισότητα βασίστηκε στον ορισμό της ισομετρίας και στην ισότητα τ(x) τ(y) = τ(x y). Ορισμός (βάση διανυσματικού χώρου): Βάση ενός διανυσματικού χώρου V είναι ένα σύνολο B = {b i } i I V έτσι ώστε για κάθε x V με x 0 υπάρχουν μοναδικοί πραγματικοί αριθμοί λ 1, λ 2,, λ k, k N ώστε: 11

21 x = λ 1 b 1 + λ 2 b λ k b k + Αν x = 0, ορίζουμε x = 0b 1 + 0b b k + Ορισμός (ορθοκανονικό σύνολο): Έστω (V, ) χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Ένα σύνολο S = {x i V i I} καλείται ορθοκανονικό αν: (i) x i x j, i, j I με i j και (ii) x i = 1, i I. Ορισμός (ορθοκανονική βάση): Έστω (V, ) χώρος με εσωτερικό γινόμενο και έστω S ένα ορθοκανονικό υποσύνολό του. Το S λέγεται ορθοκανονική βάση του V αν είναι ένα μεγιστικό ορθοκανονικό σύνολο, δηλαδή αν δεν περιέχεται γνήσια σε κανένα άλλο ορθοκανονικό υποσύνολο του V. Λήμμα (Ιδιότητα ορθοκανονικών βάσεων του R n ): Έστω F = {f i } i I μια ορθοκανονική βάση του R n. Τότε: (a) η ανάλυση ενός διανύσματος x R n σε σχέση με την βάση F είναι: x = i x f i f i. n (b) αν x = i x i f i και y = i y i f i, τότε x y = i=1 x i y i. Απόδειξη: (a) Έστω x R n. Επειδή το σύνολο F = {f i } i I είναι μία βάση του R n υπάρχουν μοναδικοί μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί λ 1, λ 2,, λ n, n N τέτοιοι ώστε: x = λ 1 f 1 + λ 2 f λ n f n x f 1 = λ 1 f 1 f 1 + λ 2 f 2 f λ n f n f 1. Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου συνεπάγεται: x f 1 = λ 1 f 1 f 1 + λ 2 f 2 f λ n f n f 1. Επειδή το σύνολο F = {f i } i I είναι ορθοκανονικό ισχύουν οι εξής σχέσεις: f i f j = 0, για i j και f i f j = 1, για i=j, με i, j I = {1,2, n}. Συνεπώς λαμβάνουμε x f 1 = λ 1. Επαναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία για κάθε άλλη συνιστώσα του x R n βρίσκουμε x f i = λ i για κάθε i I = {1,2, n}. Άρα είναι x = i x f i f i. 12

22 (b) Είναι x y = i x i f i i y i f i = x 1 f 1 + x 2 f x n f n y 1 f 1 + y 2 f y n f n. Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου και της ορθοκανονικής βάσης λαμβάνουμε το ζητούμενο. Για περαιτέρω εμβάθυνση σε θέματα πραγματικής και συναρτησιακής ανάλυσης βλ. [7],[8] 2.2 Στοιχεία Συμμετρίας Εσωτερική συμμετρία κρυστάλλου Η γεωμετρική κρυσταλλογραφία ασχολείται με την μελέτη των γεωμετρικών ιδιοτήτων, των κρυστάλλων και των νόμων που διέπουν την εμφάνιση και την ανάπτυξη τους. Σύμφωνα με τις βασικές αρχές της κρυσταλλογραφίας, προκειμένου να θεωρηθεί ένα πολυεδρικό σχήμα ως κρυσταλλικό, θα πρέπει να ισχύον οι ακόλουθοι νόμοι εσωτερικής συμμετρίας [3,κεφ 2 ο ]: 1. Ο νόμος της κυρτότητας των δίεδρων γωνιών: Κάθε κρυσταλλικό σχήμα αποτελεί πάντοτε κυρτό πολύεδρο. Δηλαδή δύο τεμνόμενες έδρες ενός κρυσταλλικού σχήματος σχηματίζουν μία προεξέχουσα δίεδρη γωνία. 2. Ο νόμος της σταθερότητας των δίεδρων γωνιών: Σε όλο το μήκος της παράλληλης ανάπτυξης των εδρών ενός κρυστάλλου, υπό συνθήκες σταθερής πίεσης και θερμοκρασίας, οι δίεδρες γωνίες παραμένουν σταθερές. Δηλαδή, οι δίεδρες γωνίες των ομοίων εδρών σε στερεά του ίδιου κρυσταλλικού είδους είναι πάντα ίσες, ανεξάρτητα από το μέγεθος ή το σχήμα των κρυστάλλων. Η ισότητα των δίεδρων γωνιών διατηρείται ακόμη και όταν οι κρύσταλλοι είναι παραμορφωμένοι. Αυτό που ενδιαφέρει την κρυσταλλογραφία δεν είναι οι διαστάσεις των κρυσταλλικών εδρών, αλλά οι γωνίες που σχηματίζουν μεταξύ τους. 3. Ο νόμος των δεικτών συμμετρίας: Οι παράμετροι (κρυσταλλογραφικές συντεταγμένες) οποιασδήποτε έδρας ενός κρυσταλλικού σχήματος είναι απλά πολλαπλάσια των παραμέτρων του απλούστερου κρυσταλλικού πολυέδρου που είναι ικανό να αποδώσει τη μορφή του κρυστάλλου. Το απλό πολύεδρο είναι ένα θεμελιώδες κρυσταλλικό σχήμα. 13

23 4. Ο νόμος της κρυσταλλικής συμμετρίας: Οι κρύσταλλοι χαρακτηρίζονται πάντα από ορισμένα στοιχεία συμμετρίας (άξονες, επίπεδα και κέντρα συμμετρίας) Εξωτερική συμμετρία κρυστάλλου Η εξωτερική συμμετρία των κρυστάλλων προσδιορίζεται με την μέτρηση των γωνιών ανάμεσα σε τυπικές έδρες ή με μεθόδους που περιλαμβάνουν π.χ. την εξέταση των οπτικών ιδιοτήτων των κρυστάλλων (την μεταβολή του δείκτη διάθλασης με τον προσανατολισμό, τη διπλοθλαστικότητα των οπτικά ενεργών μορφών κτλ), την παρατήρηση του φαινομένου του σχισμού, το οποίο συνίσταται στην τάση πολλών κρυστάλλων να διαρρηγνύονται κατά μήκος καθορισμένων διευθύνσεων, κ.α. Όμως, η εξωτερική συμμετρία των κρυστάλλων καθορίζεται από την εσωτερική, ατομική δομή τους. Η σύγχρονη κρυσταλλογραφία, με κύριο εργαλείο τις μεθόδους περίθλασης, μελετά την εσωτερική και εξωτερική συμμετρία και τη δομή των κρυστάλλων [3,κεφ 2 ο ]. Η μελέτη των κρυσταλλικών μορφών αποκαλύπτει ότι οι ιδιότητες της εξωτερικής συμμετρίας ή μακρο-συμμετρίας μπορούν να εκφραστούν μέσω τριών βασικών στοιχείων συμμετρίας: επίπεδο συμμετρίας, κέντρο συμμετρίας και άξονας συμμετρίας. Καθένα από αυτά τα στοιχεία αναφέρεται σε μία διεργασία συμμετρίας, μία διαδικασία με την οποία ένα ή περισσότερα σημεία μεταφέρονται γεωμετρικά σε συμμετρικές ως προς τις αρχικές τους θέσεις Επίπεδο συμμετρίας Το επίπεδο συμμετρίας υποδηλώνει μία κατοπτρική ανάκλαση με την οποία ένα σχήμα ή αντικείμενο αναπαράγεται με κατοπτρική προβολή των σημείων που το αποτελούν μέσω του επιπέδου αυτού. Όταν το επίπεδο περιέχεται στο εξεταζόμενο σχήμα, κάθε σημείο του σχήματος αυτού έχει ένα κατοπτρικό είδωλο. Ένας κρύσταλλος ή ένα μόριο χαρακτηρίζεται από κατοπτρική συμμετρία, αν περιέχει ένα ή περισσότερα επίπεδα συμμετρίας [3,κεφ 2 ο ]. Τα επίπεδα αυτά τέμνουν το μόριο ή τον κρύσταλλο και το χωρίζουν σε δύο, ακριβώς ίδια, ημίσεια μέρη (βλ. για παράδειγμα Εικόνα ). 14

24 Εικόνα : Τα εννέα επίπεδα συμμετρίας του κύβου [17] Κέντρο συμμετρίας Διεργασία συμμετρίας αποτελεί και η αναστροφή ως προς σημείο. Κατά την διαδικασία αυτή πραγματοποιείται προβολή μέσω κάποιου ιδιαίτερου σημείου. Αν η διεργασία αυτή αναπαράγει συμμετρικά ένα σχήμα ή ένα αντικείμενο, το ιδιαίτερο αυτό σημείο λέγεται κέντρο συμμετρίας. Έτσι, ένας κρύσταλλος διαθέτει κέντρο συμμετρίας αν οποιαδήποτε ευθεία που ξεκινά από μία κρυσταλλική έδρα και διέρχεται από το σημείο αυτό απολήγει σε ισοδύναμο σημείο κρυσταλλικής έδρας σε ίση απόσταση από το σημείο αναστροφής. Κάθε σημείο του κρυστάλλου μπορεί να προβληθεί στο αντίστοιχό του διά του κέντρου συμμετρίας (βλ. για παράδειγμα Εικόνα ). Η διεργασία αυτή ονομάζεται και αναστροφή (inversion) ως προς κέντρο συμμετρίας [3,κεφ 2 ο ]. Εικόνα : Το κέντρο συμμετρίας του κύβου [17] Άξονας συμμετρίας Τέλος, η περιστροφή είναι μία διεργασία μεταφοράς σημείων που πραγματοποιείται ως προς κατάλληλο άξονα. Μία στροφή γύρω από άξονα που περιέχεται σε ένα σχήμα αποτελεί διεργασία συμμετρίας όταν μεταφέρει κάθε σημείο σε ισοδύναμη θέση. Ειδικότερα, ορίζεται ότι ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας ν-οστής τάξης αν η 15

25 στροφή του σχήματος γύρω από τον άξονα αυτόν κατά γωνία 2π/ν υπερθέτει ισοδύναμα σημεία. Η έννοια των ισοδύναμων σημείων γίνεται ξεκάθαρη στην παράγραφο 5.5. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται ν φορές, κατά τη διάρκεια μιας πλήρους περιστροφής 2π [3,κεφ 2 ο ]. Ο άξονας συμμετρίας είναι ένα στοιχείο συμμετρίας και ο δείκτης ν ονομάζεται τάξη ή πολλαπλότητα της περιστροφής (βλ. για παράδειγμα Εικόνα ). Στο σημείο αυτό είναι σκόπιμο να αναφέρουμε ότι οι κρύσταλλοι δεν διαθέτουν άξονες συμμετρίας 5 ης και παραπάνω από 6 ης τάξης. Ο λόγος είναι (όπως θα αποδειχθεί και θα αναπτυχθεί παρακάτω) ότι το εξωτερικό σχήμα των κρυστάλλων βασίζεται σε μία γεωμετρική διάταξη ατόμων που επαναλαμβάνεται περιοδικά πληρώνοντας μεταφορικά (μεταθετικά) τον χώρο. Εικόνα : Από αριστερά προς τα δεξιά οι άξονες συμμετρίας του κύβου τάξης 4,3,2 αντίστοιχα [17]. 2.3 Στοιχεία Θεωρίας Ομάδων Βασικές Έννοιες Στην παράγραφο αυτή ακολουθούν κάποιες βασικές έννοιες θεωρίας ομάδων, που κρίνονται απαραίτητες για την συνέχεια [9, κεφ 1 ο ]. Ορισμός (διμελής πράξη): Μία διμελής πράξη σε ένα μη κενό σύνολο S είναι ένας κανόνας, με τον οποίο κάθε διατεταγμένο ζεύγος (a, b) στοιχείων του S αντιστοιχίζεται σε ένα μοναδικό στοιχείο του S. Ο παραπάνω ορισμός αναφέρεται συχνά και ως συνθήκη κλειστότητας. Απαιτούμε το σύνολο S να είναι κλειστό ως προς μία διμελή πράξη στο S. 16

26 Παραδείγματα διμελών πράξεων 1. Η συνήθης πρόσθεση και ο συνήθης πολλαπλασιασμός είναι διμελείς πράξεις στο σύνολο R. 2. Ο συνήθης πολλαπλασιασμός πινάκων είναι μία διμελής πράξη στο σύνολο Μ 4 (C), των πινάκων 4 4 με μιγαδικές συντεταγμένες. Ορισμός (ομάδα): Έστω ένα μη κενό σύνολο G και μία διμελής πράξη στο G. Το σύνολο G μαζί με την διμελή πράξη λέγεται ομάδα και συμβολίζεται G,, αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (i) Για κάθε a, b, c G ισχύει: (a b) c = a (b c). Δηλαδή η διμελής πράξη είναι προσεταιριστική. (ii) Υπάρχει ένα στοιχείο e G, τέτοιο ώστε για κάθε x G ισχύει: e x = x e = x. Το στοιχείο e λέγεται ταυτοτικό στοιχείο για την διμελή πράξη στο G. (iii) Για κάθε x G, υπάρχει x G, τέτοιο ώστε να ισχύει: x x = x x = e. Το στοιχείο x λέγεται συμμετρικό ή αντίστροφο του x ως προς την διμελή πράξη. Στην περίπτωση όπου έχουμε G, ομάδα με πράξη και για κάθε a, b G ισχύει: (a b) = (b a), η ομάδα ονομάζεται αβελιανή. Παραδείγματα ομάδων 1. Το σύνολο Z με πράξη + είναι αβελιανή ομάδα. 2. Το σύνολο Μ 2 (R) των πινάκων 2 2 με πράξη την πρόσθεση είναι ομάδα. 3. Το σύνολο των ορθογωνίων n n πινάκων με ορίζουσα +1 είναι ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Συμβολίζεται με SO(n, R). Ορισμός (τάξη ομάδας): Έστω G, ομάδα. Το πλήθος των στοιχείων της ομάδας λέγεται τάξη της ομάδας και συμβολίζεται με G. 17

27 Ορισμός (υποομάδα): Έστω G, ομάδα και έστω H ένα μη κενό υποσύνολο της G. To H καλείται υποομάδα της G και συμβολίζεται H G, αν το Η είναι ομάδα με πράξη που κληρονομεί από την G. Παραδείγματα υποομάδων 1. Η ομάδα Z, + είναι υποομάδα της R, Η ομάδα {e, a}, είναι υποομάδα της 4-ομάδας του Klein, V, των βασικών συμμετριών του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. 3. H ομάδα U 4, είναι υποομάδα της U 8,. Σημειώνουμε ότι οι n-οστές ρίζες της μονάδας στο C αποτελούν ομάδα και την συμβολίζουμε U n. Ορισμός (ομομορφισμός ομάδων): Μια απεικόνιση φ G, Η, λέγεται ομομορφισμός ομάδων αν ισχύει: φ(g 1 g 2 ) = φ(g 1 ) φ(g 2 ) g 1, g 2 G. Παρατήρηση: Στον παραπάνω ορισμό η απεικόνιση φ δεν είναι υποχρεωτικά 1 1 ή επί. Παραδείγματα ομομορφισμών ομάδων 1. Η απεικόνιση φ: G, G,, με φ(g) = g n, g G και n N, με G αβελιανή. 2. H απεικόνιση Τ: R n, + R n, +, εφόσον Τ(α + b) = T(a) + T(b), a, b R n. 3. H απεικόνιση det: GL(n, R), R,, εφόσον det(ab) = det(a) det (B). Πρόταση : Έστω φ: G H ομομορφισμός ομάδων. Ισχύουν τα εξής: (a) φ(e G ) = e H. (b) g G, φ(g 1 ) = φ(g) 1. Απόδειξη: (a) Για κάθε g G ισχύει φ(e G )φ(g) = φ(e G g) = φ(g). Άρα φ(e G ) = e Η. 18

28 (b) Για κάθε g G ισχύει φ(g 1 )φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) = e Η. Άρα φ(g 1 ) = φ(g) 1. Πρόταση : Έστω φ G H ομομορφισμός ομάδων. (a) για κάθε υποομάδα Α της G το σύνολο φ(α) είναι υποομάδα της Η. (b) για κάθε υποομάδα Β της Η το σύνολο φ 1 (Β) = {g G φ(g) Β} είναι υποομάδα της G. Απόδειξη: (a) Έστω h 1, h 2 φ(α). Θα δείξω ότι h 1 h 2 φ(α), δηλαδή ότι το σύνολο φ(α) είναι κλειστό ως προς την πράξη. Επειδή h 1, h 2 φ(α) a 1, a 2 Α h 1 = φ(a 1 ) και h 2 = φ(a 2 ). Είναι h 1 h 2 = φ(a 1 )φ(a 2 ) = φ(a 1 a 2 ). Επειδή η Α είναι υποομάδα της G έπεται a 1 a 2 Α και άρα φ(a 1 a 2 ) φ(α) ή h 1 h 2 φ(α). Έστω h φ(α). Θα δείξω ότι h 1 φ(α), δηλάδη το αντίστροφο κάθε στοιχείου της φ(α), ανήκει στην φ(α). Επειδή h φ(α) α Α h = φ(α). Είναι: h 1 = [φ(α)] 1. Λόγω της πρότασης λαμβάνουμε h 1 = φ(α 1 ). Επειδή το σύνολο Α είναι ομάδα α 1 Α, άρα φ(α 1 ) φ(α), δηλαδή h 1 φ(α). Συνεπώς φ(α) Η. (b) Με παρόμοια επιχειρήματα λαμβάνουμε φ 1 (Β) G. Ορισμός (κανονική υποομάδα): Έστω G ομάδα και N μία υποομάδα της G. H Ν λέγεται κανονική υποομάδα της G αν: g G ισχύει gng 1 = N. Ορισμός (πυρήνας ομομορφισμού): Έστω φ G H ομομορφισμός ομάδων. Πυρήνας του ομομορφισμού φ λέγεται το σύνολο: φ 1 (e H ) = {g G: φ(g) = e H } και το συμβολίζουμε kerφ. Πρόταση : Έστω φ G H ομομορφισμός ομάδων. Τότε ο πυρήνας της απεικόνισης φ, kerφ, είναι κανονική υποομάδα της G. Απόδειξη: Θα δείξουμε ότι gkerφg 1 = kerφ, g G. Έστω x kerφ. Τότε είναι: φ(gxg 1 ) = φ(g)φ(x)φ(g 1 ), (επειδή φ ομομορφισμός ομάδων) 19

29 φ(gxg 1 ) = φ(g)eφ(g 1 ), (επειδή x kerφ) φ(gxg 1 ) = e, άρα gxg 1 kerφ. Οπότε δείξαμε gkerφg 1 kerφ, g G. Αντικαθιστώντας το g με το g 1, λαμβάνουμε: g 1 kerφg kerφ, g G, ή ισοδύναμα, kerφ gkerφg 1, g G Σύμπλοκα και το Θεώρημα Lagrange Ορισμός (σύμπλοκο): Έστω Η υποομάδα μίας ομάδας G. Ένα υποσύνολο της G της μορφής: gh = {gh h H}, όπου g G λέγεται αριστερό σύμπλοκο της Η στην G που περιέχει το g. Πρόταση : Έστω Η υποομάδα της G και έστω a, b G. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (a) α bh (b) b ah (c) ah = bh (d) b 1 a H (e) a 1 b H Απόδειξη: (a) (b): Ισχύει a bh, άρα h H τέτοιο ώστε a = bh. Άρα h H τέτοιο ώστε b = ah 1. Δηλαδή h 1 H τέτοιο ώστε b = ah 1, συνεπώς b ah. Ομοίως (b) (a). (a) (c): Ισχύει α bh h H τέτοιο ώστε a = bh. Έστω h 1 H. Λαμβάνουμε: αh 1 = bhh 1 bh. Συνεπώς είναι ah bh. Ομοίως (b) (c). (c) (a),(b): Ισχύει ότι ah = bh. Επίσης είναι α αh και b bh. (d) (e): Ισχύει b 1 a H, άρα h H τέτοιο ώστε b 1 a = h. Άρα h H τέτοιο ώστε a 1 b = h 1. Δηλαδή h 1 H τέτοιο ώστε a 1 b = h 1, συνεπώς a 1 b H. Ομοίως (e) (d)[10,κεφ 3 ο ]. (a) (d): Ισχύει ότι α bh. Ισοδύναμα h H τέτοιο ώστε a = bh ή h H τέτοιο ώστε b 1 a = h ή b 1 a H. 20

30 Πρόταση : Έστω G ομάδα και Η υποομάδα της G. Ισχύουν τα εξής: (a) Έστω a, b G. Τότε είτε ah = bh είτε ah bh =. (b) Κάθε αριστερό σύμπλοκο ah είναι μη κενό. (c) H ένωση των αριστερών συμπλόκων της Η στην G είναι η G. Απόδειξη: (a) Έστω ah bh {ah h H} {bh h H} Έστω ah bh υπάρχει c G τέτοιο ώστε c ah και c bh. Ισοδύναμα, με βάση την προηγούμενη πρόταση, λαμβάνουμε ah = ch και bh = ch. Δηλαδή ah = bh. (b) Έστω το αριστερό σύμπλοκο ah = {ah h H} της Η, που περιέχει το α. Για h = e H έπεται a G έπεται α ah, άρα ah = {ah h H}. (c) Επειδή για κάθε a G έπεται a ah. Λαμβάνουμε: ah = a G G Πρόταση : Έστω G ομάδα και Η υποομάδα της G και έστω a, b G. Τότε η απεικόνιση φ: x ba 1 x είναι 1 1 και επί μεταξύ των συμπλόκων ah και bh. Απόδειξη: Η φ είναι 1 1. Πράγματι, αν αh 1, ah 2 ah για κάποια h 1, h 2 Η έπεται ότι: φ(ah 1 ) = φ(ah 2 ) bα 1 ah 1 = ba 1 αh 2 bh 1 = bh 2 h 1 = h 2 ah 1 = ah 2. Η φ είναι επί. Πράγματι, για το στοιχείο bh bh υπάρχει το στοιχείο ah ah τέτοιο ώστε φ(ah) = bα 1 ah = bh [10,κεφ 3 ο ]. Θεώρημα (Lagrange): Έστω G ομάδα πεπερασμένης τάξης και Η μία υποομάδα της G. Τότε η τάξη της Η G διαιρεί την τάξη της G. Επίσης το πηλίκο είναι το πλήθος των αριστερών Η συμπλόκων της Η στην G. 21

31 Απόδειξη: Τα διακεκριμένα αριστερά σύμπλοκα είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους και η ένωση των αριστερών συμπλόκων της Η στην G είναι η G, με βάση την Πρόταση Επίσης τα αριστερά σύμπλοκα της Η στην G έχουν την ίδια πληθικότητα, με βάση την πρόταση Συνεπώς είναι: G = H (πλήθος των αριστερών συμπλόκων της Η στην G). Oρισμός (δείκτης υποομάδας): Έστω G ομάδα και Η μία υποομάδα της G. Δείκτης της Η στην G είναι το πλήθος των αριστερών συμπλόκων της Η στην G και συμβολίζεται [G: H] Κλάσεις Ισοδυναμίας και Διαμερίσεις Συνόλων Ορισμός (διαμέριση συνόλου): Έστω ένα σύνολο Χ. Μία διαμέριση του συνόλου Χ είναι μία συλλογή από σύνολα {Α i } i I τέτοια ώστε: (i) Α i Α j =, για κάθε i j (ii) i I A i = X Ορισμός (σχέση ισοδυναμίας): Έστω ένα σύνολο Χ. Σχέση ισοδυναμίας στο Χ ονομάζουμε μία διμελή σχέση στο Χ με τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) (ii) (iii) Για κάθε x X, x~x (ανακλαστικότητα) Για κάθε x, y X, x~y y~x (συμμετρικότητα) Για κάθε x, y, z X, αν x~y και y~z, τότε x~z (μεταβατικότητα) Ορισμός (κλάση ισοσυναμίας): Έστω ένα σύνολο Χ και ~ μία σχέση ισοδυναμίας στο Χ. Τότε για κάθε x X η κλάση ισοδυναμίας του x είναι το σύνολο: [x] = {y X y~x} Πρόταση : Έστω ένα σύνολο Χ και ~ μία σχέση ισοδυναμίας στο Χ. Για x, y X οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: 22

32 (a) (b) (c) x [y]. y [x]. [x] = [y]. Απόδειξη: (a) (b) Έστω x [y]. Τότε είναι x ~y y ~ x, λόγω συμμετρικότητας. Άρα y [x]. (b) (c) Έστω y [x]. Θα δείξω ότι [x] = [y] ή ισοδύναμα θα δείξω ότι [x] [y] και [x] [y]. Έστω k [x]. Τότε k x, άρα x k λόγω συμμετρικότητας και επειδή y [x] έπεται ότι y x.τέλος επειδή η σχέση ισοδυναμίας είναι μεταβατική, λαμβάνουμε y k, άρα k y (λόγω συμμετρικότητας), δηλαδή k [y]. Αποδείξαμε ότι [x] [y]. Έστω k [y]. Tότε k y και επειδή y [x] είναι y ~ x. Λόγω μεταβατικότητας της λαμβάνουμε k x, δηλαδή k [x]. Άρα [x] [y]. Συνεπώς είναι [x] = [y]. (c) (a) Έστω [x] = [y]. Επειδή η σχέση ισοδυναμίας ~ είναι ανακλαστική ισχύει x [x] = [y], οπότε x [y]. Πόρισμα : Έστω ένα σύνολο Χ και ~ μία σχέση ισοδυναμίας στο Χ. Τότε η συλλογή όλων των ισοδύναμων κλάσεων του Χ είναι μία διαμέριση του Χ. Ορισμός (κανονική προβολή): Έστω G ομάδα και Η μία υποομάδα της G. Το σύνολο των αριστερών συμπλόκων της Η στην G συχνά συμβολίζεται με G/H. Η επί απεικόνιση: π: G G/H, με π(α) = αη λέγεται κανονική προβολή ή απεικόνιση πηλίκο της G επί του συνόλου G/H. Ορισμός (συζυγή στοιχεία): Έστω G ομάδα και έστω a, b G. Τα στοιχεία a, b λέγονται συζυγή αν υπάρχει στοιχείο g G τέτοιο ώστε b = gag 1. Η σχέση συζυγίας είναι μία σχέση ισοδυναμίας στην G. 23

33 Ορισμός (κλάσεις συζυγίας): Οι κλάσεις ισοδυναμίας συζυγών στοιχείων λέγονται κλάσεις συζυγίας Θεωρήματα Ομομορφισμών Θεώρημα : Έστω G ομάδα και Ν μία κανονική υποομάδα της G. To σύνολο των αριστερών συμπλόκων G/N έχει μία μοναδική πράξη «γινόμενο» η οποία κάνει την G/N ομάδα και την απεικόνιση π: G G/N ομομορφισμό ομάδων. Απόδειξη: Ορίζουμε το γινόμενο δύο συμπλόκων αν και bn της N στην G ως εξής: anbn = abn Το γινόμενο των συμπλόκων είναι καλώς ορισμένο, επειδή η Ν είναι κανονική. Πράγματι: ανbn = {αn 1 bn 2 : n 1, n 2 N} = {αbn 1 n 2 : n 1, n 2 N} = {αbn n N} = abn Το γινόμενο συμπλόκων είναι προσεταιριστικό, επειδή το γινόμενο συνόλων είναι προσεταιριστικό. Επίσης υπάρχει το ταυτοτικό σύμπλοκο en και το αντίστροφο του συμπλόκου αν, το οποίο είναι το α 1 Ν. Τέλος, η απεικόνιση π είναι ομομορφισμός ομάδων. Πράγματι, έστω a, b G, έχουμε: π(αb) = abn = anbn = π(α)π(b). Θεώρημα : Έστω φ: G G ένας επιμορφισμός ομάδων. Έστω επίσης ο ομομορφισμός π: G/ kerφ G. Τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός h: G/ kerφ G ικανοποιώντας την ισότητα h π = φ. Απόδειξη: Υπάρχει μοναδικός τρόπος για να ορίσουμε την h, έτσι ώστε να ικανοποιεί την ισότητα h π = φ, ορίζοντας h(akerφ) = φ(α) για κάθε αkerφ G/ kerφ. Είναι: h(akerφ bkerφ) = h(abkerφ) = φ(αb) = φ(α)φ(b) = h(akerφ)h(bkerφ). 24

34 Ερμηνείες Θεωρημάτων και Τα Θεωρήματα και μας δείχνουν ότι οι κανονικές υποομάδες και οι επιμορφισμοί ομάδων είναι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος. Για δοθείσα κανονική υποομάδα Ν, υπάρχει επιμορφισμός με πυρήνα Ν και ένας επιμορφισμός προσδιορίζεται πλήρως από τον πυρήνα του. Το Θεώρημα αποκαλύπτει τον καλύτερο τρόπο για να κατανοήσουμε μία ομάδα πηλίκο G/ Ν. Πρόταση : Έστω φ: G G επιμορφισμός ομάδων. Τότε ισχύουν τα εξής: (a) (b) Αν B υποομάδα της G, τότε φ 1 (Β) είναι υποομάδα της G που περιέχει τον πυρήνα kerφ. Η απεικόνιση Β φ 1 (Β) είναι αμφιμονοσήμαντη μεταξύ των υποομάδων της G και των υποομάδων της G, που περιέχουν τον kerφ. (c) Έστω Ν υποομάδα της G. Η Ν είναι κανονική υποομάδα της G, αν και μόνο αν, το σύνολο φ 1 (Ν) είναι κανονική υποομάδα της G. Απόδειξη: (a) Για κάθε υποομάδα Β της G, η φ 1 (Β) είναι υποομάδα της G. Εφόσον e B φ 1 (Β) φ 1 ({e}) = kerφ. (b) Έστω Α υποομάδα της G και έστω η απεικόνιση Α φ(a). Θα δείξω ότι η απεικόνιση Α φ(a) είναι αντίστροφη της Β φ 1 (Β). Επειδή η φ 1 (Β) είναι υποομάδα της G έπεται ότι φ(φ 1 (Β)) είναι υποομάδα της G, που περιέχει a priori την Β και επειδή η φ είναι επί λαμβάνουμε ότι Β = φ(φ 1 (Β)). Για μία Α υποομάδα της G που περιέχει τα σύνολα kerφ και φ 1 (φ(α)), a priori περιέχει την Α. Έστω x A. Τότε υπάρχει α Α τέτοιο ώστε φ(x) = φ(a) ή ισοδύναμα α 1 x kerφ Α. Άρα x αα = Α, δηλαδή φ 1 φ(α) = Α. (c) Ευθύ: Έστω Ν είναι κανονική υποομάδα της G. Θα δείξω ότι το σύνολο φ 1 (Ν) είναι κανονική υποομάδα της G. Έστω g G. Τότε gφ 1 (Ν)g 1 gkerφg 1 = kerφ. Άρα η gφ 1 (Ν)g 1 είναι υποομάδα της G που περιέχει τον πυρήνα kerφ. Με βάση το (b) έχουμε: gφ 1 (Ν)g 1 = φ 1 φ(gφ 1 (Ν)g 1 ) = φ 1 φ(g)(ν)φ(g 1 ) = φ 1 (Ν) Αντίστροφο: Αρκεί να δείξω ότι για τον επιμορφισμό φ ότι αν Α κανονική υποομάδα της G, τότε η φ(α) είναι κανονική υποομάδα της G. Έχουμε: g G ισχύει gag 1 = A φ(gag 1 ) = φ(a) φ(g)φ(a)φ(g 1 ) = φ(a) 25

35 φ(g) G ισχύει (g)φ(a)φ(g) 1 = φ(a). Πρόταση : Έστω φ: G H ένας επιμορφισμός με πυρήνα Ν. Έστω Α υποομάδα της G. Τότε είναι φ 1 φ(α) = ΑΝ = {an: a A, n N} και η ΑΝ είναι υποομάδα της G που περιέχει την Ν. Επιπλέον ισχύει: ΑΝ Ν φ(α) Α (Α Ν) Απόδειξη: Έστω x G. Λαμβάνουμε: x φ 1 φ(α) φ(x) φ(α) α Α: φ(x) = φ(α) α 1 x N h N: α 1 x = h α Α: x = ah x AN Άρα ΑΝ = φ 1 φ(α) και με βάση προηγούμενη πρόταση είναι κανονική υποομάδα της G που περιέχει τον Ν. Ο περιορισμός της φ στην ΑΝ μας δίνει τον ισομορφισμό: ΑΝ Ν φ(α). Ο περιορισμός της φ στην Α μας δίνει τον ισομορφισμό: Α (Α Ν) φ(α) [10,κεφ 3 ο ]. 2.4 Στοιχεία Θεωρίας Πινάκων Ορισμός (ορθογώνιος πίνακας): Ένας n n τετραγωνικός πίνακας Α λέγεται ορθογώνιος, αν Α T = A 1. Ισοδύναμα, αν ΑΑ Τ = Α Τ Α = Ι. Αντίστροφο: Έστω ΑΑ Τ = Α Τ Α = Ι. Τότε έπεται άμεσα ότι Α T = A 1, δηλαδή ο Α ορθογώνιος. Λήμμα 2.4.2: Έστω Α n m πίνακας με n m. Οι στήλες του Α αποτελούν ορθοκανονικό σύνολο από διανύσματα του R n αν και μόνον αν Α Τ Α = Ι m. 26

36 Απόδειξη: Έστω α 1, α 2,, α m οι στήλες του πίνακα Α. Άρα Α = [α 1 α 2 α m ]. Οι γραμμές του α 1 T πίνακα Α Τ είναι α T 1, α T 2,, α T m. Άρα Α Τ T = α 2. Λαμβάνουμε: a 1 α 1 = 1 α T m α 1 T α 1 α T 1 α 2 α T 1 α m Α Τ Α = α T 2 α 1 α T 2 α 2 α T 2 α m α T m α 1 α T m α 2 α T m α m = a 1 α 1 a 1 α 2 a 1 α m a 2 α 1 a 2 α 2 a 2 α m. a m α 1 a m α 2 a m α m Ευθύ: Έστω οι στήλες του Α αποτελούν ορθοκανονικό σύνολο από διανύσματα του R n. Τότε, αν a i, α j R n, πρέπει a i α j = 0 για i j και a i α j = 1 για i = j Συνεπώς είναι Α Τ Α = = Ι m Αντίστροφο: Έστω Α Τ Α = Ι m. Τότε είναι a 1 α 1 a 1 α 2 a 1 α m a 2 α 1 a 2 α 2 a 2 α m = Ι m. Δηλαδή είναι a m α 1 a m α 2 a m α m a i α j = 0, για i j και a i α j = 1, για i = j. Άρα οι στήλες του Α αποτελούν ορθοκανονικό σύνολο από διανύσματα του R n,[11]. Λήμμα 2.4.3: Έστω x, y R n. Τότε ισχύει: x y = ¼ x + y 2 ¼ x y 2. Απόδειξη: Είναι x + y 2 = x x y + y 2 (1) και x y 2 = x 2 2 x y + y 2 (2). Αφαιρώντας την (2) από την (1) λαμβάνουμε: x + y 2 x + y 2 = 4 x y ή x y = ¼ x + y 2 ¼ x y 2. 27

37 Θεώρημα 2.4.4: Έστω ένας Α n n πίνακας. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (α) O Α είναι ορθογώνιος. (b) Για κάθε x R n ισχύει Αx = x. (c) Για κάθε x, y R n ισχύει Ax Ay = x y. Απόδειξη: (α) (b): Έστω ότι ο πίνακας Α είναι ορθογώνιος και έστω x R n. Έχουμε: Αx = Ax Ax 1/2 = x A T Ax 1/2. Επειδή ο Α είναι ορθογώνιος ισχύει A T A = Ι. Η τελευταία ισότητα γίνεται: Αx = x x 1/2 = x. (b) (c): Έστω ότι ισχύει Αx = x για κάθε x R n. Έστω x, y R n. Έχουμε: Ax Ay = ¼ Αx + Αy 2 ¼ Αx Αy 2 = ¼ Α(x + y) 2 ¼ Α(x y) 2 Ax Ay = ¼ x + y 2 ¼ x y 2 = x y. H τελευταία ισότητα βασίστηκε στο Λήμμα (c) (α): Υποθέτουμε ότι ισχύει Ax Ay = x y, για κάθε x, y R n. Τότε για κάθε x, y R n έπεται: x A T Ay = x y x A T Ay x y = 0 x A T Ay y = 0 x (A T A I)y = 0. Επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει για κάθε x R n, επιλέγουμε x = (A T A I)y. Λαμβάνουμε (A T A I)y (A T A I)y = 0 ή (A T A I)y = 0 για κάθε y R n. Άμεσα έπεται A T A = I, δηλαδή ο πίνακας Α είναι ορθογώνιος[11]. Θεώρημα 2.4.5: Έστω Α n n, B n n δύο ορθογώνιοι πίνακες. Τότε ισχύει: (α) O πίνακας Α 1 είναι ορθογώνιος. (b) Ο πίνακας ΑΒ είναι ορθογώνιος. (c) det(a) = 1 ή det (A) = 1 Απόδειξη: (α) Επειδή ο πίνακας Α είναι ορθογώνιος (ΑΑ Τ = Α Τ Α = Ι) λαμβάνουμε: Α 1 (Α 1 ) T = Α 1 (A T ) T = Α 1 A T = Ι (b) Επειδή οι πίνακες Α και Β είναι ορθογώνιοι (ΑΑ Τ = Α Τ Α = Ι και ΒΒ Τ = Β Τ Β = Ι), έχουμε: (ΑΒ)(ΑΒ) T = ΑΒΒ T A T = ΑΑ Τ = Ι (c) Επειδή ο πίνακας Α είναι ορθογώνιος έχουμε: 1 = de t(i) = det(αα Τ ) = det (A)det (Α Τ ) 28

38 Από το (α) λαμβάνουμε: det(a) = det (Α Τ ). Συνεπώς έχουμε: 1 = det (A) 2, δηλαδή det(a) = 1 ή det (A) = 1. Ορισμός (ιδιοτιμή πίνακα): Έστω V διανυσματικός χώρος και Α ο πίνακας μίας γραμμικής απεικόνισης του V στον εαυτό του. Ένα στοιχείο v 0 V λέγεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α αν υπάρχει λ R τέτοιο ώστε: Αv = λv. Το λ λέγεται ιδιοτιμή του πίνακα Α που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα v. 2.5 Στοιχεία Κυρτής Ανάλυσης Ένα υπερεπίπεδο του R n είναι ένας υπόχωρος του R n διάστασης n 1. Υπερεπίπεδο στον R 2 είναι μία γραμμή που διέρχεται από το (0,0), στον R 3 ένα επίπεδο που διέρχεται από το (0,0,0) κτλ., [11]. Στην περίπτωση αυτή συμβολίζουμε: H a = {x R n : x a = 0} Ορισμός (υπερεπίπεδο, αφινικό υπερεπίπεδο): Έστω p, a R n με α 0. Το υπερεπίπεδο που διέρχεται από το p και είναι κάθετο στο a είναι το σύνολο λέγεται αφινικό υπερεπίπεδο του R n και συμβολίζεται με: p + H a = {x R n : x p a = 0} Παρατήρηση: Το αφινικό υπερεπίπεδο p + H a = {x R n : x p a = 0} είναι μία παράλληλη μετατόπιση του H a = {x R n : x a = 0} κατά p. Λήμμα 2.5.2: Έστω p, a R n με α 0. Τότε για το αφινικό υπερεπίπεδο που διέρχεται από το σημείο p και είναι κάθετο στο α ισχύει: p + H a = {x R n x a = p a }. Απόδειξη: Είναι: x p a = 0 x a p a x a = p a. 29

39 Πρόταση 2.5.3: Έστω a και b δύο διακεκριμένα σημεία του R n. Τότε το σύνολο των σημείων που έχουν την ίδια απόσταση από τα a και b είναι το αφινικό υπερεπίπεδο x 0 + Η c, όπου x 0 = a+b 2, c = b a και Η c = {x R n x c = 0}. Απόδειξη: Τα σημεία που έχουν ίδια απόσταση από τα a και b είναι το σύνολο Έχουμε: {x R n x α = x b }. x α = x b x α 2 = x b 2 x α x a = x b x b x 2 2 x a + α 2 = x 2 2 x b + b 2 b 2 a 2 = 2 x b 2 x a b 2 a 2 = 2 x b α. Aς είναι x = (x 1, x 2,, x n ), a = (a 1, a 2,, a n ), και b = (b 1, b 2,, b n ). Λαμβάνουμε x α = x b n n 2 2 b i a i = 2 x i (b i a i ) i=1 n i=1 n i=1 x i (b i a i ) = 1/2 (b i a i )(b i + a i ) i=1 n i=1 α + β x b a = b a. 2 Με βάση το λήμμα τα σημεία που ισαπέχουν από τα a και b είναι το αφινικό υπερεπίπεδο x 0 + Η c, όπου x 0 = a+b, c = b a. 2 Πόρισμα 2.5.4: Έστω a i (1 i n + 1) n + 1 σημεία του R n τα οποία δεν βρίσκονται όλα στο ίδιο υπερεπίπεδο. Αν τα a και b ικανοποιούν την ισότητα ρ(a, a i ) = ρ(b, a i ) i (1 i n + 1), τότε ισχύει a = b. Απόδειξη: Έστω a b. Τότε από την Πρόταση έχουμε ότι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από τα a και b είναι το αφινικό υπερεπίπεδο x 0 + Η c, όπου x 0 = a+b 2, c = b a. Επειδή ισχύει: ρ(a, a i ) = ρ(b, a i ) (1 i n + 1) έπεται ότι a i x 0 + Η c, i (1 i n + 1). Άτοπο, αφού δεν βρίσκονται όλα τα a i στο ίδιο υπερεπίπεδο. 30

40 Πόρισμα 2.5.5: Έστω a i (1 i n + 1) είναι n + 1 σημεία του R n τα οποία δεν βρίσκονται όλα στο ίδιο υπερεπίπεδο. Έστω επίσης μια γραμμική ισομετρία τ R n R n. Αν η ισομετρία τ ικανοποιεί την ισότητα τ(α i ) = a i i (1 i n + 1), τότε τ = id. Απόδειξη: Για κάθε σημείο a R n είναι: ρ(τ(α), α i ) = ρ(τ(α), τ(α i )) = ρ(α, α i ) i (1 i n + 1). Με βάση το πόρισμα λαμβάνουμε τ(α) = α, δηλαδή τ = id. 2.6 Ευθέα Ημιευθέα Γινόμενα Ορισμός (ευθύ γινόμενο): Έστω οι ομάδες G,, Η,. Ορίζουμε το ευθύ γινόμενο των δύο ομάδων ως εξής: G H = {(g, h): g G, h H} Το ευθύ γινόμενο G H είναι ομάδα με πράξη (g, h)(g, h ) = (g g, h h ), [10]. Ορισμός (ημιευθύ γινόμενο): Έστω οι ομάδες G και H, και έστω ένας ομομορφισμός α: H Aut(G). Ορίζουμε το ημιευθύ γινόμενο ως εξής: G a H = {(g, h): g G, h H} To ημιευθύ γινόμενο G a H είναι ομάδα με πράξη (g, h)(g, h ) = (gα(h)g, hh ), [10]. 2.7 Στοιχεία Γραμμικών Ισομετριών Ορισμός (ορθογώνια ομάδα): Το σύνολο των ορθογωνίων τετραγωνικών πινάκων συμβολίζεται με O(n, R) και είναι ομάδα βάσει του Θεωρήματος 2.4.6, η λεγόμενη ορθογώνια ομάδα. Ορισμός (ειδική ορθογώνια ομάδα): Το σύνολο των ορθογωνίων τετραγωνικών πινάκων με ορίζουσα +1 λέγεται ειδική ορθογώνια ομάδα και συμβολίζεται με SO(n, R). 31

41 Λήμμα 2.7.3: Η ορίζουσα μιας ισομετρίας είναι ±1. Απόδειξη: Θεωρούμε την απεικόνιση det : O(n, R) {1, 1} μεταξυ των ομάδων O(n, R), {1, 1} (με πράξη τον πολλαπλασιασμό). Επειδή det(a, B) = det(a) det(b), η απεικόνιση det είναι ομομορφισμός. Συνεπώς έχουμε SO(n, R) = ker (det). Λήμμα 2.7.2: Έστω Α ένας ορθογώνιος πίνακας. Tότε η γραμμική απεικόνιση τ: x Ax είναι ισομετρία. Απόδειξη: Με βάση το Θεώρημα λαμβάνουμε Αx = x, για κάθε x R n, άρα τ(x) = x, για κάθε x R n. Θεώρημα 2.7.3: Έστω τ: R n R n μια γραμμική απεικόνιση. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (a) Η απεικόνιση τ είναι ισομετρία. (b) Η απεικόνιση τ διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο. (c) Για κάποια ορθοκανονική βάση {f i,, f n } του R n, το σύνολο {τ(f i ),, τ(f n )} είναι ορθοκανονικό. (d) Για κάθε ορθοκανονική βάση {f i,, f n } του R n, σύνολο {τ(f i ),, τ(f n )} είναι ορθοκανονικό. (e) Ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης τ, σε σχέση με κάποια ορθοκανονική βάση, είναι ορθογώνιος. (f) Ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης τ, σε σχέση με κάθε ορθοκανονική βάση, είναι ορθογώνιος. Απόδειξη: (a) (b): Έπεται από το Λήμμα (b) (c): Έστω ότι η απεικόνιση τ διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο και έστω μία ορθοκανονική βάση του {f i,, f n } του R n. Για το σύνολο {τ(f i ),, τ(f n )} έχουμε: τ(f i ) τ f j = f i f j = 0, για i j και 1, για i = j. (c) (d): Έπεται άμεσα από την προηγούμενη συνεπαγωγή. 32

42 (d) (e): Έστω μία ορθοκανονική βάση {f i,, f n } του R n. Ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης τ σε σχέση με την βάση {f i,, f n } είναι: f 1 f 1 f 1 f 2 f 1 f n f 2 f 1 f 2 f 2 f 2 f n = = I n f n f 1 f n f 2 f n f n (e) (f): Έπεται άμεσα από την προηγούμενη συνεπαγωγή. (f) (a): Έπεται από το Λήμμα Πρόταση 2.7.4: Ένα στοιχείο Α O(3, R) έχει ορίζουσα 1 αν και μόνον αν o A εκτελεί στροφή. Απόδειξη: Ευθύ: Έστω Α SO(3, R) και έστω τ η αντίστοιχη γραμμική ισομετρία τ: x Ax. O Α θα έχει ιδιοδιάνυσμα v με αντίστοιχη ιδιοτιμή +1. Έστω ένα επίπεδο P κάθετο στο v. To P είναι αναλλοίωτο υπό την ισομετρία τ και det τ P = det(τ) = 1. Άρα ο περιορισμός τ P είναι στροφή. Συνεπώς, η ισομετρία τ είναι στροφή γυρω από τον φορέα του διανύσματος v, [10]. Αντίστροφο: Έστω ότι η τ είναι στροφή. Τότε ο πίνακας της ισομετρίας τ, σε σχέση με κατάλληλη ορθοκανονική βάση έχει την μορφή: που έχει ορίζουσα cos (θ) sin (θ) 0 sin (θ) cos (θ) Πρόταση 2.7.5: Κάθε στοιχείο Α O(3, R)\SO(3, R) εκτελεί ή ορθογώνια ανάκλαση ή ανάκλαση και στροφή. Απόδειξη: Έστω Α O(3, R)\SO(3, R) και έστω τ η αντίστοιχη γραμμική ισομετρία τ: x Ax. Άς είναι v ένα ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α με αντίστοιχη ιδιοτιμή ±1. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν η ιδιοτιμή είναι +1, τότε ο περιορισμός της ισομετρίας τ σε ένα επιπεδο P ορθογώνιο στο v, έχει ορίζουσα -1, άρα πρόκειται για ανάκλαση. Συνεπώς η ισομετρία τ είναι ανάκλαση. 33

43 Αν η ιδιοτιμή είναι -1, τότε ο περιορισμός της ισομετρίας τ στο επίπεδο P έχει ιδιοτιμή +1, άρα πρόκειται για στροφή. Σε αυτή την περίπτωση η ισομετρία τ είναι σύνθεση μιας ανάκλασης (στο επίπεδο P) και μιας στροφής (γύρω από έναν άξονα που παράγεται από το v), [10]. Θεώρημα 2.7.6: Κάθε γραμμική ισομετρία του R n είναι σύνθεση το πολύ n ορθογώνιων ανακλάσεων. Απόδειξη: Έστω τ μία γραμμική ισομετρία του R n και έστω E = {e i }, με 1 i n, η τυπική ορθοκανονική βάση του R n. Έστω επίσης f i = τ(e i ), με 1 i n. Θα δείξουμε με την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για 1 p n ότι υπάρχει γινόμενο ρ p το πολύ p ορθογωνίων ανακλάσεων που ικανοποιούν την ισότητα τ p (e i ) = f i i 1 i p. Αν e 1 = f 1, θέτουμε ρ 1 = id. Αλλιώς το 0 βρίσκεται στο υπερεπίπεδο που αποτελείται από τα σημεία του R n, που έχουν την ίδια απόσταση με τα σημεία e 1 και f 1. Σε αυτή την περίπτωση το ρ 1 είναι ορθογώνια ανάκλαση στο υπερεπίπεδο που βρίσκεται το 0. Υποθέτουμε ότι ρ = ρ p 1 είναι γινόμενο το πολύ p 1 ορθογώνιων ανακλάσεων, οι οποίες αντιστοιχούν το e i f i i 1 i p 1. Αν επιπλέον ισχύει ρ e p = f p, τότε θέτουμε ρ p = ρ. Διαφορετικά, παρατηρούμε το εξής: τα σύνολα {f 1,, f p 1, f p } και f 1,, f p 1, ρ e p = {ρ(e 1 ),, ρ e p 1, ρ e p } είναι ορθοκανονικά. Συνεπώς το σύνολο f 1,, f p 1 {0} βρίσκονται στο υπερεπίπεδο που αποτελείται από τα σημεία του R n, που έχουν την ίδια απόσταση από τα σημεία f p και ρ(e p ). Αν σ είναι μία ορθογώνια ανάκλαση στο συγκεκριμένο υπερεπίπεδο, τότε η ρ P = σ ρ είναι η ζητούμενη ισομετρία. Τέλος, με βάση το Πόρισμα 2.5.5, αν τ = ρ n, λαμβάνουμε την ισομετρία ρ 1 n τ, [10]. Παρατηρήσεις: 1. Ένα στοιχείο της Ο(n, R) έχει ορίζουσα 1 αν και μόνον αν είναι άρτιο γινόμενο ανακλάσεων. 2. Ένα στοιχείο της Ο(n, R) έχει ορίζουσα -1 αν και μόνον αν είναι περιττό γινόμενο ανακλάσεων. 34

44 Ορισμός (μεταφορά): Έστω b R n. Oρίζουμε ως μεταφορά (translation) τ b την ισομετρία: τ b (x) = x + b, x R n (Εικόνα ). Ορισμός (αφινική ανάκλαση): Έστω x 0, a R n. Ορίζουμε ως ανάκλαση ή αφινική ανάκλαση (affine reflection) στο υπερεπίπεδο που περνά από το x 0 και είναι κάθετο στο α την ισομετρία: f a,x0 = x 2 x x 0 a a x R n (Εικόνα ). Στο σημείο αυτό είναι σκόπιμο να κάνουμε την γεωμετρική ερμηνεία της αφινικής ανάκλασης (βλ. Σχήμα β) και να παρατηρήσουμε τα εξής: Το διάνυσμα x r x 0 γράφεται και με την βοήθεια εσωτερικού γινομένου ως εξής: x r x 0 = [ x x 0 a a ]. Επειδή είναι x r = 1/2(x + x 1 ), λαμβάνουμε την ισομετρία: x 1 = x 2 x x 0 a a. Σχήμα β: Γεωμετρική Ερμηνεία της αφινικής ανάκλασης, [12] Ορισμός (ολισθαίνουσα ανάκλαση): Έστω τ α μεταφορά (translation), για κάποιο α R n, παράλληλο στο υπερεπίπεδο μιας ανάκλασης σ (affine reflection). Ορίζουμε ως ολισθαίνουσα ανάκλαση (glide reflection) την ισομετρία: g a,σ = τ α σ (Εικόνα ). Ορισμός (αφινική στροφή): Έστω P R n, τ x0 μεταφορά (translation) και R στροφή (rotation). Ορίζουμε ως στροφή ή αφινική στροφή (affine rotation) με κέντρο x 0 την ισομετρία: r θ = τ P Rτ P (Εικόνα ). 35